SECCION AUREA

(Basado en un texto de Mark Freitag)

En general estamos familiarizados con el número irracional PI, pero también existe otro no tan conocido al que llamamos Phi, que tiende a aparecer en diversos lugares, como veremos a continuación.

Una forma de encontrar Phi, es considerar la solución de la ecuación:

Cuyas raíces son:

Consideramos que Phi es la primera raíz. Podemos expresar Phi también con las series siguientes:

Desarrollando estas series podemos calcular el valor de Phi con una aproximación que estará en función de la cantidad de términos utilizados. O podemos demostrar que en el límite esta serie infinita nos lleva al valor exacto de Phi en una forma más concreta. Por ejemplo, si X es igual a la serie infinita:

Elevando al cuadrado ambos términos, llegamos a:

Que de nuevo es la ecuación con la que comenzamos:

LA SECCION AUREA Y LAS FIGURAS GEOMETRICAS

(Basado en un texto de Mark Freitag con imágenes del mismo artículo)

Una forma geométrica asociada a la sección áurea, es el rectángulo áureo. Este rectángulo en particular tiene lados A y B, cuya relación coincide con la sección áurea. Se dice que este rectángulo es el más agradable a la vista, de hecho se dice que cualquier figura geométrica que siga la secció,n áurea es agradable a la vista. Vemos ahora una figura de un rectángulo áureo.

Podemos utilizar la sección áurea para dibujar un pentágono regular:

Si conectamos los vértices del pentágono, obtenemos dos triángulos áureos. El triángulo azul tiene los lados y la base en relació áurea, y el rojo tiene la base en relación áurea respecto a cada uno de los lados.

Si inscribimos un decágono regular en un círculo, la relación de uno de los lados al radio coincide con la sección áurea.

Si tomamos un triángulo isósceles cuyos lados estén en relación áurea, y bisectamos uno de los ángulos de la base de 72 grados, veremos que obtenemos otro triángulo con las mismas propiedades del original, y si continuamos el proceso veremos que se obtiene un conjunto de triángulos arremolinados.

Utilizando como base los triángulos arremolinados, podemos dibujar una espiral logarítmica, con convergencia en la intersección de las líneas azules.

Podemos hacer lo mismo con el rectángulo áureo, generando un conjunto de rectángulos arremolinados, que sirvan de base para una espiral logarítmica, como vemos en la figura:

Se presenta un hecho interesante cuando trabajamos con los rect&aacte;ngulos arremolinados. Supongamos que comenzamos con un cuadrado de lado 1 y uno de lado 2, y los ponemos juntos como en la figura que sigue.

Si continuamos dibujando cuadrados, como vemos en la figura siguiente, obtendremos un nuevo conjunto de rectángulos arremolinados, que tienen la siguiente propiedad: La relación de los lados, tiende a la sección áurea, (2/1 = 2, 3/2 = 1.5, 5/3 = 1.6666, 8/5 = 1.6, 13/8 = 1.625, y así). Otro hecho interesante es que las longitudes de los cuadrados coinciden con los términos de la serie de Fibonacci (ver siguiente tema).

SECCION AUREA Y LA SERIE DE FIBONACCI

Texto tomado del libro Elementos del Cálculo Diferencial e Integral de Manuel Sadosky y Rebeca CH.de Guber (Tomo I pág. 122) Editorial Alsina.

Sucesión de Fibonacci y Secciones Aureas

Dado un segmento AB de longitud l se dice que un punto M lo divide en media y extrema razón si se verifica la siguiente relación:

Al segmento AM de longitud x se lo denomina Sección Aurea del segmento dado. En base a la relación anterior es:

Y resuelta esta ecuación de segundo grado, obtenemos:

x1 determina un punto interior al segmento AB y x2 uno exterior. Los valores:

son recíprocoscomo puede comprobarse efectuando su producto.

Si ahora se parte de dos segmentos a y b, de modo que la longitud del primero sea la sección áurea del segundo, y se construye la correspondiente sucesión de Fibonacci:

se verifica que cada término es la sección áurea del siguiente.

Así si:

Es:

y racionalizando la expresión resulta:

En general como es:

se verifica:

Tanto la sucesión de Fibonacci como la sección áurea aparecen en las más diversas cuestiones geométricas y biológicas. El investigador inglés D'Arcy W. Thompson se refiere a ellas en un libro titulado On growth and Form.